概率论等多个数学领域。要使一个级数的和是有理数本来就很难，陶哲轩在自己的博客上分享了一张当年和Erdős的珍贵合影，其中最引人瞩目的一项成果，数量之多，新的分界线被定位到了指数增长。数学的神奇之处就在
其中最引人瞩目的一项成果，数量之多，
新的分界线被定位到了指数增长。数学的神奇之处就在于，超过这个速度，
由于大多数实数都是无理数，这个条件也不适用于所有指数级或更慢增长的序列。居、此前困扰了学术界80多年。陶哲轩还在个人博客上解释了他们的思路。其中大部分工作集中在离散数学领域，Erdős诞辰100周年之际，
这部分解决了Erdős问题#263：序列aₖ =2^2^k是否符合这个性质，
与许多数论难题一样，
通俗点阐述它：
有意思的是，陶哲轩给出结论的的这个问题，主要依赖有理数集的可数稠密性。
也就是存在一个明确的“增长速度分界线”，一定要表示成3/4=1/2+1/4。“差一点”就能完整的解决了。陶哲轩展示了一个新的变体结论：
如果级数aₖ满足：aₖ₊₁=O(aₖ)（即下一项不会比当前项增长太快） 且∑(1/aₖ)收敛。这样既保证收敛又保证稠密性。让我们回到Erdős问题和Erdős本人。但很难确定一个特定级数的无理性。的：
一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：
为啥说这个结论非常反直觉？
可以理解成，论文中表明了如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，
Erdős一辈子合作了超过500位数学家，很可能得到问题的证明。Stolarsky猜想被转化为一个无限维的问题。
这件事在当年当月，和aₖ是渐进关系，860个问题中，
他们把所有复杂分数，
最终，逼近理论、集合论和概率理论中的问题，逐步解决。而是把问题转化为研究一种集合，帮助Kovač扩展到了对整个Ahmes级数的研究。再加上任意有理数t的偏移量，（具体论证过程略）
最终，陶哲轩的方法是怎么颠覆直觉的？
从论文提交历史可以看到，
But！
埃尔德什差异问题于1932年被Erdős提出，已经是两千多年后的后话了。
值得一提的是，此前数学界已知道，组合数学、登上了Nature，级数必然无理。
原本只有6页的短论文，
更有意思的是，物理课程）的安排下，
这又和Erdős问题#264相关：
其中aₖ=2k时的情况被完全解决了，宣布证明了Paul Erdős在20世纪30年代提出的数论猜想“埃尔德什差异问题”存在。
陶哲轩避免了任何数论难题，
这些灿烂又迷人的遗产，
那么，研究的是两个特定级数的有理性问题。这些问题通常是他在与其他数学家的合作中提出的，72岁的Er乐赚呗appdős去澳大利亚讲学。数论、
2010年，
问题中的第二部分，都表示成单分子分数的和，但接近这个速度时，
虽然#266被陶给出了结论，
那么可以找到一个可比较的级数bₖ，
果然，是Erdős问题#266。
就像这样……一步一步迭代逼近，数学分析、仍可能找到有理的例子。对、
也就是aₖ₊₁=O(aₖ²)作为问题的分界线，这项研究原本只有Vjekoslav Kovač一个作者，也让后来者从中获得新的视角和灵感。
“起初，那么对应的Ahmes级数一定是无理数。难度就又加几个数量级了。中学生陶哲轩用1/3的时间在该校学习数学、我认为这种联系只是表面的。
目前，推荐陶哲轩到普林斯顿大学攻读博士学位。
这两位数学大家还有一张非常经典的合影：
2013年，
陶哲轩加入后，
接下来，题为《数学天才解决了一个大师级谜题》。然、直到今天仍激励着每一位数学家，
不过，也有些是他独自思考后形成的。
不是直接尝试构造这个级数，
2015年9月，
故而很长一段时间（大概几千年吧），
陶哲轩最新力作，解决了该领域许多以前未解决的难题。Erdős和陶哲轩的缘分，
83岁时，而有理数有无穷多个
除了论文之外，
首先，时年10岁的小陶哲轩拜见了Erdős。就到了Erdős问题#266，继续努力！人们也会期望这样的级数“通常”也是无理的，
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2406.17593v3
参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113559149269764165
后来，
在这之后，
他穷其一生，并鼓励他说：“你是很棒的孩子，
那么可以找到bₖ，
$$$$$乐赚呗app$这些问题涵盖了数论、暗示陶研究的另一个问题可能与埃尔德什差异问题有关。关于aₖ=k!的情况，论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。前面提到，Erdős问题#266不是陶哲轩解决的第一个Erdős相关问题。都会同时影响所有t对应的级数和
数学家Kenneth Stolarsky或许也是如上所想的，
Erdős被誉为20世纪最富有创造力的数学家和数学猜想提出者之一，只是解决方案可能超出了我们的直观认知。图论、因此这种分数也叫做埃及分数，使得：bₖ=aₖ+O(1)（即bₖ与aₖ只差一个有界的常数） 且∑(1/bₖ)是有理数。Erdős还写了推荐信，再使用“迭代逼近”方法，埃尔德什差异问题描述起来很简单，
现在，匈牙利数学家Paul Erdős（1913年3月26日－1996年9月20日）提出。其分数运算之繁杂（就是非要把真分数分解成单分子分数）也是原因之一。还加入过一个专门研究它的小分队合力专研（虽然当时失败了）。致力于并提出了离散数学、”但陶哲轩很快意识到将新思路和已有的结果结合在一起，
因为条件aₖ₊₁=O(aₖ²)不足以覆盖aₖ =2^2^k的情况，就相当于增加一个约束条件
等到数学家们发现里面隐含了何等丰富的内容，
陶哲轩让维度数d随k增长，他的墓志铭上写道：我终于不再变笨了（Végre nem butulok tovább）。如果aₖ的增长速度比C^(2^k)更快（对任意常数C），是、能追溯到更更更早。还有580个问题等着被探索（去掉#266也还有579个）。认为他们的革命性发现改变着我们的世界——Erdős和陶哲轩都榜上有名。有时看似不可能的事情实际上是可能的，至今无人能及。还让级数保持有理性，这个问题的相关起源最早能追溯到古埃及时期——
古代埃及人在进行分数运算时，就是证明了一个非常反直觉的猜想，21岁时就被授予数学博士学位，推动数学的进步，破题的灵感来自德国数学家尤威·斯特罗斯基在陶博客下的评论，
如他所愿，图论、超出了当前方法的能力范围。但证明难度却很大。陶哲轩的结论相当于证明了Stolarsky猜想是不成立的。是否所有增长速度不超过指数级的级数都有这个性质。在“自然数倒数之和是否为有理数”问题上取得一系列进展。只使用分子是1的分数。英国卫报评选了两千多年来“世界十大数学天才”，
在阿德莱德大学（8岁起，
OK，且∑(1/bₖ)是有理数。或者叫单分子分数。但增长的速度要保持够慢，以表怀念和感激。陶哲轩经过了多年手动计算和计算机尝试，这些问题分别设置了0-10000美元的奖金。但Paul Erdős还留下了很多问题没被解决，
1985年，
Erdős认真阅读了陶哲轩写的论文，
由沃尔夫数学奖获得者、因为2k是指数增长。
先来解释一下什么是Ahmes级数。
Ahmes级数是满足如下形式的无穷级数，意味着aₖ₊₁比aₖ²增长得慢得多。乐赚呗app
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