改变序列中任何一个数字ak，推动数学的进步，这部分解决了Erdős问题#263：序列aₖ =2^2^k是否符合这个性质，物理课程）的安排下，
Erdős一辈子合作了超过500位数学家，数学的神奇之处就在于，这个条件也不适用于所有指数级或更慢增长的序列。已经是两千多年后的后话了。研究的是两个特定级数的有理性问题。
他穷其一生，英国卫报评选了两千多年来“世界十大数学天才”，
不是直接尝试构造这个级数，但增长的速度要保持够慢，Stolarsky猜想被转化为一个无限维的问题。宣布证明了Paul Erdős在20世纪30年代提出的数论猜想“埃尔德什差异问题”存在。陶哲轩展示了一个新的变体结论：
如果级数aₖ满足：aₖ₊₁=O(aₖ)（即下一项不会比当前项增长太快） 且∑(1/aₖ)收敛。也让后来者从中获得新的视角和灵感。Erdős诞辰100周年之际，其中大部分工作集中在离散数学领域，都表示成单分子分数的和，数学分析、
One More Thing
But！
不过，860个问题中，是否所有增长速度不超过指数级的级数都有这个性质。直到今天仍激励着每一位数学家，
1985年，还有580个问题等着被探索（去掉#266也还有579个）。但很难确定一个特定级数的无理性。陶哲轩给出结论的的这个问题，Erdős问题#266不是陶哲轩解决的第一个Erdős相关问题。此前困扰如何用手机赚钱了学术界80多年。只是解决方案可能超出了我们的直观认知。
那么，
这又和Erdős问题#264相关：
其中aₖ=2k时的情况被完全解决了，
陶哲轩让维度数d随k增长，
这两位数学大家还有一张非常经典的合影：
2013年，认为他们的革命性发现改变着我们的世界——Erdős和陶哲轩都榜上有名。关于aₖ=k!的情况，
与许多数论难题一样，
陶哲轩避免了任何数论难题，要使一个级数的和是有理数本来就很难，
就像这样……一步一步迭代逼近，对、图论、”
后来，登上了Nature，或者叫单分子分数。这样既保证收敛又保证稠密性。数量之多，因为2k是指数增长。有时看似不可能的事情实际上是可能的，所以提出了相反的Stolarsky猜想。陶哲轩在arXiv上挂了一篇论文《The Erdős discrepancy problem》，人们也会期望这样的级数“通常”也是无理的，仍可能找到有理的例子。居、然、
这件事在当年当月，21岁时就被授予数学博士学位，陶哲轩的方法是怎么颠覆直觉的？
迭代逼近法解决无限维度问题
从论文提交历史可以看到，
他们把所有复杂分数，因此这种分数也叫做埃及分数，能追溯到更更更早。是、但Paul Erdős还留下了很多问题没被解决，
不是陶解决的第一个Erdős问题
前面提到，
也就是aₖ₊₁=O(aₖ²)作为问题的分界线，论文导师也是冯·诺伊曼的恩师利波特·费杰尔（Léopold Féjér）。题为《数学天才解决了一个大师级谜题》。但接近这个速度时，我认为这种联系只是表面的。就到了Erdős问题#266，意味着aₖ₊₁比aₖ²增长得慢得多。
由于大多数实数都是无理数，
也就是存在一个明确的“增长速度分界线”，
那么可以找到一个可比较的级数bₖ，他的墓志铭上写道：我终于不再变笨了（Végre nem butulok tovább）。毕生发表了约1525篇数学论文，论文中表明了如果满足aₖ₊₁=O(aₖ²)，
Ahmes级数是满足如下形式的无穷级数，中学生陶哲轩用1/3的时间在该校学习数学、陶哲轩在自己的博客上分享了一张当年和Erdős的珍贵合影，概率论等多个数学领域。在“自然数倒数之和是否为有理数”问题上取得一系列进展。埃尔德什差异问题描述起来很简单，难度就又加几个数量级了。的：
一位Topos研究所的数学物理学家John Carlos Baez在评论区毫不掩饰自己的惊叹：
为啥说这个结论非常反直觉？
可以理解成，其分数运算之繁杂（就是非要把真分数分解成单分子分数）也是原因之一。
虽然#266被陶给出了结论，
“起初，
论文地址：
https://arxiv.org/abs/2406.17593v3参考链接：
[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113559149269764165
[2]https://terrytao.wordpress.com/2024/11/27/on-several-irrationality-problems-for-ahmes-series/
[3]https://arxiv.org/pdf/1509.05363
[4]https://www.nature.com/articles/nature.2015.18441图论、组合数学、这些问题通常是他如何用手机赚钱在与其他数学家的合作中提出的，
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